Integrais Duplas, Cartesianas e Polares

• Calcular uma integral dupla como integral iterada sobre um retângulo ou sobre uma região limitada por curvas, e trocar a ordem de integração redescrevendo a região.
• Enunciar as hipóteses do teorema de Fubini e reconhecer um caso em que as duas integrais iteradas discordam porque uma hipótese falha.
• Enunciar o teorema de mudança de variáveis com suas condições, calcular um jacobiano e deduzir o fator $r$ das coordenadas polares.
• Calcular $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx$ passando para coordenadas polares e usar o resultado para mostrar que a densidade Normal integra 1.

Uma integral dupla soma uma quantidade espalhada por uma região do plano: o volume sob uma superfície $z = f(x, y)$, ou a massa de uma placa cuja densidade varia de ponto a ponto. Como em the-definite-integral-and-riemann-sums, ela é definida como limite de somas e é calculada reduzindo-a a duas integrais simples.

A lição the-normal-distribution escreve a densidade $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ e diz apenas que a constante na frente faz a área valer 1. Essa constante não é óbvia, porque $e^{-x^2}$ não tem primitiva escrita com funções elementares, então o teorema fundamental do cálculo não calcula a integral diretamente. O caminho alternativo usa duas dimensões: o quadrado da integral é uma integral dupla sobre o plano, e em coordenadas polares ela fica fácil. A mesma ideia dá o método de Box-Muller para transformar números aleatórios uniformes em Normais.

Integrais duplas sobre retângulos

Divida um retângulo $R = [a, b] \times [c, d]$ em sub-retângulos pequenos de área $\Delta A$, escolha um ponto de amostra em cada um e forme $\sum f(x_i^*, y_j^*)\, \Delta A$. Quando as somas convergem para o mesmo número à medida que os sub-retângulos encolhem, o limite é $\iint_R f\, dA$. Ele existe quando $f$ é contínua em $R$, e também quando $f$ é limitada e descontínua apenas ao longo de um número finito de curvas suaves. Onde $f \ge 0$, é o volume sob o gráfico.

Integrais iteradas e o teorema de Fubini

Teorema de Fubini (caso contínuo). Se $f$ é contínua no retângulo fechado $R = [a, b] \times [c, d]$, então

As hipóteses são um retângulo fechado e limitado e a continuidade. A versão para funções integráveis em geral (integral de Lebesgue) troca a continuidade pela integrabilidade absoluta: se $\iint |f|\, dA < \infty$, as duas integrais iteradas existem e valem $\iint f\, dA$. O teorema de Tonelli cobre $f \ge 0$: as duas integrais iteradas sempre igualam a integral dupla, como valores em $[0, \infty]$, sem exigir finitude.

Quando a hipótese falha, a conclusão pode falhar. Tome $f(x, y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ em $(0, 1)^2$, que explode na origem. Como $\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$, integrar primeiro em $x$ dá $-\frac{1}{1 + y^2}$, e então

Os dois valores foram confirmados numericamente. A função não é absolutamente integrável: $\iint |f|\, dA$ sobre $[\varepsilon, 1]^2$ cresce cerca de $2{,}3$ cada vez que $\varepsilon$ encolhe dez vezes (tende a $\ln 10$ por passo), o que é divergência logarítmica. Sem integrabilidade absoluta, a ordem pode importar.

Regiões gerais e troca da ordem

Uma região é do tipo I se é $a \le x \le b$, $g_1(x) \le y \le g_2(x)$ com $g_1, g_2$ contínuas, e do tipo II se os papéis de $x$ e $y$ são trocados. Para $f$ contínua em tal região $D$,

Trocar a ordem não é trocar os limites. A região precisa ser redescrita pelo outro lado, então o esboço vem primeiro: leia os valores extremos da nova variável externa e depois os limites da interna como funções dela.

Mudança de variáveis e o jacobiano

Suponha que $T(u, v) = (x(u, v), y(u, v))$ leve uma região $S$ do plano $uv$ sobre uma região $D$ do plano $xy$. O jacobiano é o determinante

Mudança de variáveis. Se $T$ é continuamente diferenciável ($C^1$), injetora no interior de $S$ e tem jacobiano não nulo no interior de $S$, e se $f$ é contínua em $D$, então

A razão é a aproximação linear local de partial-derivatives-and-the-multivariable-chain-rule: um pequeno retângulo $\Delta u \times \Delta v$ é levado quase num paralelogramo de área $\lvert\det\rvert\, \Delta u\, \Delta v$. Para a aplicação linear $x = (u + v)/2$, $y = (u - v)/2$ o determinante é $-1/2$, então as áreas são reduzidas à metade e o fator é $1/2$.

Para coordenadas polares, $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$ dão

logo $dA = r\, dr\, d\theta$, o fator antecipado em polar-coordinates. A aplicação de $[0, R] \times [0, 2\pi]$ no disco de raio $R$ quebra as hipóteses na fronteira: o segmento inteiro $r = 0$ cai na origem, as semirretas $\theta = 0$ e $\theta = 2\pi$ coincidem, e $r = 0$ anula o jacobiano. Esses conjuntos têm área zero e o teorema só exige o interior, então para $f$ contínua a integral não muda.

Uma hipótese que importa é a injetividade. Se $\theta$ percorre $[0, 4\pi]$, o disco unitário é coberto duas vezes: $\int_0^{4\pi}\int_0^1 r\, dr\, d\theta = 2\pi$, o dobro da área verdadeira $\pi$.

Regiões ilimitadas

Uma integral sobre o plano todo é um limite, como em improper-integrals: integra-se sobre um disco ou quadrado que cresce, e depois deixa-se crescer sem limite. Para $f \ge 0$ o resultado não depende da família crescente usada. Para uma função que muda de sinal, a integrabilidade absoluta é a exigência segura.

Exemplo 1: escolhendo a ordem num retângulo

Calcule $\iint_R x e^{xy}\, dA$ em $R = [0, 1] \times [0, 2]$. O integrando é contínuo num retângulo fechado, então qualquer ordem vale. Integrar $y$ primeiro é fácil:

Integrar $x$ primeiro exige integração por partes e dá $\frac{(y - 1)e^y + 1}{y^2}$, um segundo passo mais difícil. A avaliação simbólica nas duas ordens dá $(e^2 - 3)/2$, e a quadratura numérica dá $2{,}19453$.

Exemplo 2: uma integral que só funciona depois de trocar a ordem

Calcule $\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\, dy\, dx$. A integral interna é $\frac{\sqrt\pi}{2}(\operatorname{erfi}(1) - \operatorname{erfi}(x))$, não elementar. A região é $0 \le x \le y \le 1$, um triângulo. Descrita do outro lado, $0 \le y \le 1$ e $0 \le x \le y$, então

A quadratura numérica da forma original devolve $0{,}85914$.

Exemplo 3: volume sob um paraboloide

Ache o volume entre $z = 4 - x^2 - y^2$ e o plano $z = 0$. A superfície encontra o plano em $r = 2$, então $D$ é o disco $r \le 2$ e

Uma integral dupla numérica sobre o disco em $x, y$ dá $25{,}13274$. Omitir o jacobiano, $\int_0^{2\pi}\int_0^2 (4 - r^2)\, dr\, d\theta$, dá $32\pi/3 \approx 33{,}51$, que está errado.

Exemplo 4: a integral gaussiana

Seja $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx$. Então

A passagem de um produto para uma integral dupla é Fubini na forma de Tonelli: o integrando é positivo, então nenhuma finitude é assumida. Calcule a integral dupla como limite das integrais sobre o disco $D_R$ de raio $R$ (permitido porque o integrando é não negativo). Em $D_R$ valem as coordenadas polares, com $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-r^2}$ contínua:

O fator extra $r$ é o que torna a integral interna elementar: $r\, e^{-r^2}$ tem primitiva $-\tfrac{1}{2}e^{-r^2}$. Assim $I^2 = \pi$ e, como $I > 0$, $I = \sqrt\pi \approx 1{,}77245$, o que a quadratura numérica confirma. Quadrados também esgotam o plano e dão o mesmo limite:

text
R   disco: pi(1 - e^-R^2)   quadrado [-R,R]^2: pi erf(R)^2
1   1.9859                  2.2310
2   3.0841                  3.1123
3   3.1412                  3.1415     (pi = 3.1416)

De volta à densidade Normal. Substituindo $u = (x - \mu)/(\sigma\sqrt 2)$, de modo que $dx = \sigma\sqrt 2\, du$,

Dividir por $\sigma\sqrt{2\pi}$ produz área total 1, que é a constante de the-normal-distribution. Para $\mu = 175$ e $\sigma = 7$ uma integral numérica dá $17{,}5464 = 7\sqrt{2\pi}$. Isso deduz a constante de normalização; por que o formato de sino aparece é trabalho do Teorema Central do Limite.

Exemplo 5: Box-Muller

Se $X, Y$ são Normais padrão independentes, sua densidade conjunta é $\frac{1}{2\pi}e^{-(x^2 + y^2)/2}$. Em forma polar a densidade vira $\frac{1}{2\pi}e^{-r^2/2}\, r\, dr\, d\theta$: o ângulo é uniforme em $[0, 2\pi)$, e $R$ tem função de distribuição $1 - e^{-r^2/2}$. Invertê-la dá $R = \sqrt{-2\ln U_1}$ e $\Theta = 2\pi U_2$ para $U_1, U_2$ uniformes, com $X = R\cos\Theta$ e $Y = R\sin\Theta$. Numa execução com $10^6$ pares (semente 7) as variâncias amostrais foram $0{,}9986$ e $0{,}9980$, a correlação foi $-0{,}00003$, e a fração com $\lvert X\rvert \le 1$ foi $0{,}6826$ contra o valor exato $0{,}6827$.

• "Fubini sempre permite trocar a ordem." Ele exige continuidade num retângulo fechado (ou integrabilidade absoluta, ou $f \ge 0$). O exemplo com $-\pi/4$ e $+\pi/4$ mostra a ordem mudando a resposta.
• "Trocar a ordem é trocar os limites." Os novos limites vêm do desenho da região, não da troca de números.
• "Coordenadas polares só trocam $dx\, dy$ por $dr\, d\theta$." O elemento de área é $r\, dr\, d\theta$, e no Exemplo 3 o $r$ ausente mudou a resposta de $8\pi$ para $32\pi/3$. Confira também se a faixa do ângulo cobre a região uma só vez. Um círculo não centrado na origem, como $x^2 + y^2 \le 2x$, vira $0 \le r \le 2\cos\theta$ com $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$.
• "O fator de escala é o próprio determinante jacobiano." O determinante pode ser negativo porque registra a orientação, mas o fator é o seu valor absoluto. A aplicação linear acima tem determinante $-1/2$ e fator $1/2$.

Uma integral dupla é um limite de somas, calculada como integral iterada quando Fubini se aplica: continuidade num retângulo fechado, ou integrabilidade absoluta, ou integrando não negativo (Tonelli). Sem isso, as duas ordens podem discordar, como mostra $\pm\pi/4$. Em regiões gerais a ordem se troca redescrevendo a região. Uma mudança de variáveis exige uma aplicação $C^1$ injetora no interior e com jacobiano não nulo ali, e multiplica o integrando por $\lvert\partial(x, y)/\partial(u, v)\rvert$; para coordenadas polares isso é $r$. Com ele, $\iint e^{-(x^2 + y^2)}\, dA = \pi$ dá $\int e^{-x^2}\, dx = \sqrt\pi$, a constante de normalização $\sigma\sqrt{2\pi}$ da densidade Normal e o gerador de Box-Muller.