Computer Science › Fundamentos da Ciência da Computação
Funções como mapeamentos com domínio e imagem, e as famílias que o restante da disciplina usa o tempo todo: afim, quadrática, polinomial, exponencial, logarítmica e trigonométrica, com composição e inversas. Esta lição absorve a pré-cálculo que a disciplina pressupõe.
O que significa f(x) se aproximar de um valor, primeiro por tabelas e gráficos e depois pela definição épsilon-delta, com limites laterais e os casos em que um limite não existe.
As leis algébricas que permitem calcular limites em vez de adivinhá-los, o teorema do confronto e como fatoração e racionalização resolvem 0/0, enquanto dividir pela maior potência resolve infinito sobre infinito.
Limites quando x cresce sem limite, assíntotas horizontais e verticais e a hierarquia de dominância entre logaritmos, polinômios e exponenciais, que é o cálculo por baixo do enunciado formal de Big-O.
Continuidade em um ponto e em um intervalo, os tipos de descontinuidade e o Teorema do Valor Intermediário, a garantia de existência por trás da busca por bisseção.
A derivada como limite de um quociente de diferenças: taxa de variação instantânea, inclinação da reta tangente, melhor aproximação linear local, e as funções em que ela não existe.
As regras da potência, do produto, do quociente e da cadeia, deduzidas a partir da definição por limite, com a regra da cadeia lida como composição de aproximações lineares locais.
Por que e é a base cuja exponencial é a própria derivada, as derivadas de logaritmos e funções trigonométricas, e a derivação implícita e logarítmica para expressões que as regras básicas não alcançam.
O teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio, e o que eles justificam: derivada positiva significa função crescente, e derivada nula em um intervalo significa função constante.
Pontos críticos, os testes da primeira e da segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão, e como transformar um problema de enunciado em uma otimização em um intervalo fechado.
A regra de L'Hôpital para 0/0 e infinito sobre infinito, quando suas hipóteses falham, e como reescrever as outras formas indeterminadas para que ela se aplique, incluindo a comparação de taxas de crescimento.
Reverter a derivação: a família de primitivas, a constante de integração e como uma condição inicial escolhe uma única solução.
A área como limite de somas de Riemann, as regras da esquerda, da direita e do ponto médio, a definição formal da integral definida e suas propriedades básicas.
As duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo, que ligam acúmulo a taxas de variação e reduzem uma integral definida à avaliação de uma antiderivada.
A substituição como a regra da cadeia ao contrário e a integração por partes como a regra do produto ao contrário, com orientação sobre como escolher a substituição e as partes.
Montar integrais para a área entre curvas, volumes por fatiamento e por revolução, e o valor médio de uma função em um intervalo.
Integrais sobre intervalos ilimitados ou de funções que explodem em um ponto, definidas como limites; convergência e divergência, o teste-p, o teorema da comparação e por que uma densidade de probabilidade precisa ter integral 1 na reta toda.
Sequências como funções nos números naturais, a definição formal de convergência com epsilon e N, limites por leis, confronto e funções contínuas, e o teorema da convergência monótona para sequências limitadas.
Progressões aritméticas e geométricas, formas fechadas para os termos e para as somas finitas, o comportamento de r^n, e onde aparecem na computação: contagem de iterações de laços, o custo amortizado de um array dinâmico que dobra de tamanho e o crescimento composto.
Uma série infinita como o limite de suas somas parciais, a série geométrica, somas telescópicas, o teste da divergência e por que a série harmônica diverge, incluindo como a soma em ponto flutuante pode esconder uma divergência.
Os testes da comparação, da integral, da razão, da raiz e da série alternada, convergência absoluta versus condicional, e como escolher um teste para uma série dada.
Séries de potências como funções, o raio e o intervalo de convergência, e derivação e integração termo a termo.
Séries de Taylor e Maclaurin, o resto e sua cota de erro, e quantos termos uma precisão-alvo exige, que é a base da aproximação numérica.
Funções de duas ou mais variáveis, seus domínios, gráficos e curvas de nível, e limites e continuidade quando um ponto pode ser alcançado por muitos caminhos.
Derivadas parciais, o plano tangente como aproximação linear e a regra da cadeia multivariável para composições por variáveis intermediárias.
Aprofunda a lição existente de gradientes sem repeti-la: a derivada direcional, por que o gradiente aponta na direção de maior crescimento e por que ele é perpendicular às curvas de nível.
Pontos críticos de funções de duas variáveis, o teste da segunda derivada pela Hessiana, pontos de sela e extremos absolutos numa região fechada.
Coordenadas polares, conversão de e para a forma cartesiana, curvas como círculos, cardioides e rosáceas, e área em forma polar.
Integrais duplas sobre retângulos e regiões gerais, integrais iteradas e o teorema de Fubini, troca da ordem de integração e a mudança para coordenadas polares que calcula a integral gaussiana.
Integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, com volume e massa como aplicações e o determinante jacobiano como fator de escala de uma mudança de variáveis.
O que é uma equação diferencial, ordem e soluções, problemas de valor inicial, campos de direções (slope fields) e crescimento e decaimento exponencial como primeiro modelo.
Separação de variáveis, a equação logística, a lei de resfriamento de Newton e a verificação de uma solução por substituição.
Um guia de decisão para toda a disciplina: dado um problema, escolher entre limites, derivadas, integrais, séries e ferramentas de várias variáveis, e reconhecer a armadilha de cada uma.
Part of the Computer Science curriculum.
Funções como mapeamentos com domínio e imagem, e as famílias que o restante da disciplina usa o tempo todo: afim, quadrática, polinomial, exponencial, logarítmica e trigonométrica, com composição e inversas. Esta lição absorve a pré-cálculo que a disciplina pressupõe.
O que significa f(x) se aproximar de um valor, primeiro por tabelas e gráficos e depois pela definição épsilon-delta, com limites laterais e os casos em que um limite não existe.
As leis algébricas que permitem calcular limites em vez de adivinhá-los, o teorema do confronto e como fatoração e racionalização resolvem 0/0, enquanto dividir pela maior potência resolve infinito sobre infinito.
Limites quando x cresce sem limite, assíntotas horizontais e verticais e a hierarquia de dominância entre logaritmos, polinômios e exponenciais, que é o cálculo por baixo do enunciado formal de Big-O.
Continuidade em um ponto e em um intervalo, os tipos de descontinuidade e o Teorema do Valor Intermediário, a garantia de existência por trás da busca por bisseção.
A derivada como limite de um quociente de diferenças: taxa de variação instantânea, inclinação da reta tangente, melhor aproximação linear local, e as funções em que ela não existe.
As regras da potência, do produto, do quociente e da cadeia, deduzidas a partir da definição por limite, com a regra da cadeia lida como composição de aproximações lineares locais.
Por que e é a base cuja exponencial é a própria derivada, as derivadas de logaritmos e funções trigonométricas, e a derivação implícita e logarítmica para expressões que as regras básicas não alcançam.
O teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio, e o que eles justificam: derivada positiva significa função crescente, e derivada nula em um intervalo significa função constante.
Pontos críticos, os testes da primeira e da segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão, e como transformar um problema de enunciado em uma otimização em um intervalo fechado.
A regra de L'Hôpital para 0/0 e infinito sobre infinito, quando suas hipóteses falham, e como reescrever as outras formas indeterminadas para que ela se aplique, incluindo a comparação de taxas de crescimento.
Reverter a derivação: a família de primitivas, a constante de integração e como uma condição inicial escolhe uma única solução.
A área como limite de somas de Riemann, as regras da esquerda, da direita e do ponto médio, a definição formal da integral definida e suas propriedades básicas.
As duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo, que ligam acúmulo a taxas de variação e reduzem uma integral definida à avaliação de uma antiderivada.
A substituição como a regra da cadeia ao contrário e a integração por partes como a regra do produto ao contrário, com orientação sobre como escolher a substituição e as partes.
Montar integrais para a área entre curvas, volumes por fatiamento e por revolução, e o valor médio de uma função em um intervalo.
Integrais sobre intervalos ilimitados ou de funções que explodem em um ponto, definidas como limites; convergência e divergência, o teste-p, o teorema da comparação e por que uma densidade de probabilidade precisa ter integral 1 na reta toda.
Sequências como funções nos números naturais, a definição formal de convergência com epsilon e N, limites por leis, confronto e funções contínuas, e o teorema da convergência monótona para sequências limitadas.
Progressões aritméticas e geométricas, formas fechadas para os termos e para as somas finitas, o comportamento de r^n, e onde aparecem na computação: contagem de iterações de laços, o custo amortizado de um array dinâmico que dobra de tamanho e o crescimento composto.
Uma série infinita como o limite de suas somas parciais, a série geométrica, somas telescópicas, o teste da divergência e por que a série harmônica diverge, incluindo como a soma em ponto flutuante pode esconder uma divergência.
Os testes da comparação, da integral, da razão, da raiz e da série alternada, convergência absoluta versus condicional, e como escolher um teste para uma série dada.
Séries de potências como funções, o raio e o intervalo de convergência, e derivação e integração termo a termo.
Séries de Taylor e Maclaurin, o resto e sua cota de erro, e quantos termos uma precisão-alvo exige, que é a base da aproximação numérica.
Funções de duas ou mais variáveis, seus domínios, gráficos e curvas de nível, e limites e continuidade quando um ponto pode ser alcançado por muitos caminhos.
Derivadas parciais, o plano tangente como aproximação linear e a regra da cadeia multivariável para composições por variáveis intermediárias.
Aprofunda a lição existente de gradientes sem repeti-la: a derivada direcional, por que o gradiente aponta na direção de maior crescimento e por que ele é perpendicular às curvas de nível.
Pontos críticos de funções de duas variáveis, o teste da segunda derivada pela Hessiana, pontos de sela e extremos absolutos numa região fechada.
Coordenadas polares, conversão de e para a forma cartesiana, curvas como círculos, cardioides e rosáceas, e área em forma polar.
Integrais duplas sobre retângulos e regiões gerais, integrais iteradas e o teorema de Fubini, troca da ordem de integração e a mudança para coordenadas polares que calcula a integral gaussiana.
Integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, com volume e massa como aplicações e o determinante jacobiano como fator de escala de uma mudança de variáveis.
O que é uma equação diferencial, ordem e soluções, problemas de valor inicial, campos de direções (slope fields) e crescimento e decaimento exponencial como primeiro modelo.
Separação de variáveis, a equação logística, a lei de resfriamento de Newton e a verificação de uma solução por substituição.
Um guia de decisão para toda a disciplina: dado um problema, escolher entre limites, derivadas, integrais, séries e ferramentas de várias variáveis, e reconhecer a armadilha de cada uma.