Equações Diferenciais e Problemas de Valor Inicial

• Definir equação diferencial, sua ordem e o que significa uma função ser solução em um intervalo.
• Verificar uma solução candidata substituindo-a na equação e na condição inicial.
• Distinguir solução geral de solução particular e dizer o que um problema de valor inicial acrescenta.
• Enunciar o teorema de existência e unicidade com suas hipóteses e reconhecer uma equação em que a conclusão falha.
• Ler um campo de direções (slope field), segui-lo com o método de Euler e avaliar o erro do resultado.
• Resolver $y' = ky$ e usá-la para crescimento exponencial, decaimento, tempo de duplicação e meia-vida.

Muitas leis de variação são enunciadas como taxas: uma população cresce em proporção ao seu tamanho, um objeto quente perde calor em proporção à diferença de temperatura, um vetor de parâmetros se move contra o gradiente de uma função de perda. Uma taxa é uma derivada, então a lei é uma equação que contém a função desconhecida e sua derivada. Isso é uma equação diferencial, e resolvê-la é achar a função cuja taxa de variação obedece à lei.

O caso mais simples, $y' = f(t)$, se resolve com primitivas (antiderivatives-and-initial-value-problems). Aqui o lado direito pode depender do próprio $y$, e a resposta deixa de estar a uma integral de distância. Esta lição monta o vocabulário, a verificação por substituição usada em todas as soluções seguintes, o teorema que diz quando existe resposta e quando ela é única, e o primeiro modelo, crescimento e decaimento exponencial. A próxima lição, separable-differential-equations, resolve uma classe inteira dessas equações.

Equações, ordem e soluções

Uma equação diferencial ordinária (EDO) relaciona uma função desconhecida $y(t)$ de uma variável com suas derivadas. A ordem é a maior derivada que aparece: $y' = 2y$ é de primeira ordem, $y'' + 4y = 0$ é de segunda ordem.

Uma solução em um intervalo $I$ é uma função derivável que transforma a equação em identidade verdadeira para todo $t \in I$. O intervalo faz parte da resposta: uma fórmula pode resolver a equação em um intervalo e não fazer sentido em outro.

O teste confiável de uma solução é a substituição: ponha o candidato e suas derivadas na equação e confira que os dois lados coincidem para todo $t$ do intervalo, isto é, que o resíduo $y' - f(t, y)$ se simplifica a $0$. Funciona não importa como o candidato foi achado, por isso é o último passo de todo problema abaixo.

Solução geral, solução particular, problema de valor inicial

Em uma equação de primeira ordem, as soluções costumam vir em uma família com uma constante arbitrária. Para $y' = 2y$, toda função $y = Ce^{2t}$ serve: $y' = 2Ce^{2t} = 2y$. Essa é uma solução geral. Uma solução particular fixa a constante. Uma equação de segunda ordem costuma precisar de duas constantes, uma por ordem.

Um problema de valor inicial (PVI) junta a equação a condições que fixam as constantes: na primeira ordem, $y(t_0) = y_0$. Para $y' = 2y$, $y(0) = 3$ dá $C = 3$ e $y = 3e^{2t}$. A condição inicial também precisa ser verificada.

Uma solução geral não garante que não existam outras soluções; o Exemplo 2 tem uma fora da família.

Existência e unicidade

Considere o PVI $y' = f(t, y)$, $y(t_0) = y_0$.

Teorema (Picard e Lindelöf). Suponha que $f$ e $\partial f/\partial y$ sejam ambas contínuas em um retângulo aberto do plano $(t, y)$ que contém $(t_0, y_0)$. Então existe algum intervalo em torno de $t_0$ no qual o PVI tem solução, e duas soluções coincidem em todo intervalo que contém $t_0$ no qual ambas permanecem dentro do retângulo.

O teorema é local: garante solução perto de $t_0$, não para todo $t$. E a unicidade é garantida pela segunda hipótese (suficiente, não necessária: $y' = \lvert y\rvert$ não tem $\partial f/\partial y$ em $y = 0$, e mesmo assim cada PVI dela tem uma só solução). Com $f$ apenas contínua, a solução existe, mas a unicidade pode falhar. As duas falhas aparecem abaixo. Uma consequência usada depois: quando as hipóteses valem em toda parte, duas curvas-solução distintas nunca se tocam, pois tocar-se significaria duas soluções por um mesmo ponto.

Campos de direções e o método de Euler

A equação $y' = f(t, y)$ atribui uma inclinação a cada ponto $(t, y)$. Desenhe em cada ponto um segmento curto com essa inclinação e você tem um campo de direções (slope field). Uma curva-solução é tangente aos segmentos por onde passa. Para $y' = t - y$, as inclinações em alguns pontos são:

text
inclinação = t - y   t=0   t=1   t=2   t=3   t=4
y =  3               -3    -2    -1     0     1
y =  2               -2    -1     0     1     2
y =  1               -1     0     1     2     3
y =  0                0     1     2     3     4
y = -1                1     2     3     4     5

A inclinação é $0$ ao longo da reta $y = t$, negativa acima dela e positiva abaixo. Uma solução que começa acima dessa reta desce até encontrá-la e depois sobe.

O método de Euler transforma o desenho em algoritmo: de $(t_n, y_n)$, siga a inclinação local por um passo $h$:

É a aproximação pela reta tangente aplicada repetidamente. O erro em um tempo fixo diminui aproximadamente em proporção a $h$ (é um método de primeira ordem) e em geral não desaparece para $h$ fixo.

Crescimento e decaimento exponencial

Suponha uma grandeza que varia a uma taxa proporcional ao seu tamanho: $y' = ky$, $y(0) = y_0$, com $k$ constante. A função $y = y_0 e^{kt}$ a resolve. Para ver que é a única solução, seja $y$ uma solução qualquer em um intervalo e calcule

Uma função de derivada nula em um intervalo é constante nele (consequência do Teorema do Valor Médio, the-mean-value-theorem-and-monotonicity), então $y e^{-kt} = C$, e a condição inicial dá $C = y_0$. A palavra "intervalo" importa: em um domínio como $t \neq 0$, que tem duas partes, a constante pode ser diferente em cada uma.

Para $k > 0$ há crescimento com tempo de duplicação $T_2 = \ln 2 / k$. Para $k < 0$ há decaimento com meia-vida $T_{1/2} = \ln 2 / \lvert k \rvert$. Ambos independem da quantidade inicial, que é a assinatura da variação exponencial.

Exemplo 1: verificando uma solução e seu intervalo

Verifique que $y = 1/(1 - t)$ resolve $y' = y^2$, $y(0) = 1$.

Os dois lados coincidem, então a fórmula resolve a equação onde estiver definida e for derivável, isto é, em $t \neq 1$, conjunto de duas partes. Ela cumpre $y(0) = 1$ na parte que contém $t_0 = 0$. A solução do PVI por $(0, 1)$ vive em $(-\infty, 1)$, a parte que contém $t_0 = 0$. Uma integração numérica concorda ($y(0{,}9) = 10$, $y(0{,}99) = 100$) e dispara para o infinito quando $t \to 1^-$.

Esta é a localidade do teorema: $y^2$ e $2y$ são contínuas no plano todo, e mesmo assim a solução explode em tempo finito.

Exemplo 2: quando a unicidade falha

Considere $y' = 3y^{2/3}$, $y(0) = 0$, com a raiz cúbica real. A função $y \equiv 0$ é solução: os dois lados valem $0$. A função $y = t^3$ também é: $y' = 3t^2$ e $3(t^3)^{2/3} = 3t^2$ para todo real $t$, e $y(0) = 0$. Um PVI, duas soluções.

Há muitas outras. Para qualquer $c \ge 0$, tome $y = 0$ para $t \le c$ e $y = (t - c)^3$ para $t > c$: o segundo pedaço tem derivada $3(t-c)^2 \to 0$ em $t = c$, igual à do primeiro, então a função colada resolve a equação. Uma solução pode ficar em $0$ o tempo que quiser e depois decolar.

O teorema explica. Aqui $f(y) = 3y^{2/3}$ é contínua, mas $\partial f/\partial y = 2y^{-1/3}$ não está definida em $y = 0$ e é ilimitada perto dele (vale $20$ em $y = 10^{-3}$ e $2000$ em $y = 10^{-9}$). A segunda hipótese falha exatamente no ponto inicial. Além disso, a família $y = (t - c)^3$ nunca é a função nula, então $y \equiv 0$ fica fora dessa "solução geral".

Exemplo 3: método de Euler contra a solução exata

Tome $y' = t - y$, $y(0) = 1$. A função $y = t - 1 + 2e^{-t}$ a resolve: $y' = 1 - 2e^{-t}$ e $t - y = 1 - 2e^{-t}$, além de $y(0) = -1 + 2 = 1$. Com $h = 0{,}5$, Euler dá:

text
t      y Euler    y exato
0.0    1.0000     1.0000
0.5    0.5000     0.7131
1.0    0.5000     0.7358
1.5    0.7500     0.9463
2.0    1.1250     1.2707

O erro em $t = 2$ é $0{,}1457$. Reduzindo o passo à metade, os erros em $t = 2$ são $0{,}0704$ ($h = 0{,}25$), $0{,}0345$ ($h = 0{,}125$) e $0{,}0171$ ($h = 0{,}0625$): cada divisão de $h$ por dois divide o erro aproximadamente por dois.

Exemplo 4: o método de Euler é o gradient descent

Minimize $f(x) = 5x^2$ por gradient descent com passo $h$: $x_{k+1} = x_k - h\,f'(x_k) = (1 - 10h)\,x_k$. Isto é exatamente o método de Euler aplicado ao fluxo do gradiente $x' = -f'(x) = -10x$, cuja solução é $x(t) = x_0 e^{-10t}$ (veja gradients-extending-derivatives-to-several-variables para o gradiente em várias variáveis). Partindo de $x_0 = 1$:

text
h      fator 1-10h   x_0..x_5
0.05    0.5          1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.0312
0.15   -0.5          1, -0.5, 0.25, -0.125, 0.0625, -0.0312
0.20   -1.0          1, -1, 1, -1, 1, -1
0.25   -1.5          1, -1.5, 2.25, -3.375, 5.0625, -7.5938

O fluxo verdadeiro decai monotonicamente, mas as iteradas de Euler convergem só quando $\lvert 1 - 10h \rvert < 1$, isto é, $0 < h < 0{,}2$. Em $h = 0{,}15$ elas convergem trocando de sinal, ou seja, não acompanham o fluxo; em $h = 0{,}25$ divergem. Um passo grande demais quebra a discretização mesmo com a equação contínua perfeitamente comportada.

Exemplo 5: meia-vida

Uma substância decai com meia-vida de $8$ dias (valor hipotético). Então $k = -\ln 2 / 8 \approx -0{,}08664\ \text{dia}^{-1}$ e $y = y_0 e^{kt} = y_0\,2^{-t/8}$. Após $30$ dias resta a fração $2^{-30/8} \approx 0{,}0743$, cerca de $7{,}4\%$. O tempo para cair a $1\%$ resolve $2^{-t/8} = 0{,}01$, logo $t = 8\log_2 100 \approx 53{,}15$ dias. Verificação por substituição: $y' = -\frac{\ln 2}{8}\,y_0 2^{-t/8} = k y$.

• "Uma solução é um número." É uma função, e vem com um intervalo. A fórmula do Exemplo 1 também está definida para $t > 1$, mas esse ramo é outra solução e não satisfaz $y(0) = 1$.
• "Uma equação suave tem solução para todo tempo." O teorema é local, e $y' = y^2$ explode.
• "Todo PVI tem exatamente uma solução." Tem, em algum intervalo em torno de $t_0$, quando $f$ e $\partial f/\partial y$ são contínuas perto do ponto inicial. Sem a segunda condição, o Exemplo 2 pode surgir.
• "A solução geral lista todas as soluções." Ela lista a família que o método usual produz. Procure soluções fora dela, como a próxima lição faz de forma sistemática.
• "Passo de Euler menor é sempre mais seguro, e maior é só menos preciso." Um passo grande demais pode tornar a iteração instável, como no Exemplo 4.
• Conferir a fórmula e esquecer a condição inicial. Uma função pode satisfazer a equação e errar $y(t_0) = y_0$, resolvendo então outro PVI.

Uma solução de uma equação diferencial é uma função em um intervalo que transforma a equação em identidade, testada por substituição. A solução geral de primeira ordem tem uma constante, que a condição inicial fixa. Se $f$ e $\partial f/\partial y$ são contínuas perto de $(t_0, y_0)$, o PVI tem solução única em algum intervalo em torno de $t_0$, mas só localmente, e sem a segunda hipótese a unicidade pode falhar ($y' = 3y^{2/3}$). Campos de direções mostram as curvas-solução e o método de Euler as segue em passos, com erro proporcional a $h$ e instabilidade para $h$ grande, o que também explica o limite de passo do gradient descent. A equação $y' = ky$ tem a solução única $y_0e^{kt}$, com tempo de duplicação ou meia-vida $\ln 2 / \lvert k \rvert$.