Por que lambdas em um loop for enxergam todas o mesmo valor?

Quando uma lambda usa uma variável local do método que a contém, o compilador move essa variável para uma classe oculta de "closure". O método e a lambda passam a ler e escrever o mesmo campo desse objeto. É por isso que uma lambda consegue ver mudanças feitas depois de ter sido criada.

Em for (int i = 0; i < 3; i++), i é declarada uma vez, antes da primeira iteração. Existe um objeto de closure, um i, e quando as lambdas rodam o loop já terminou e i vale 3.

Antes do C# 5, o foreach tinha exatamente o mesmo comportamento, e esse era um dos "bugs" mais reportados da linguagem. O time do C# fez uma rara quebra de compatibilidade: no C# 5, a variável de iteração do foreach passou a ter escopo lógico dentro do corpo do loop, então cada iteração recebe sua própria cópia.

Eles deliberadamente não mudaram o for, porque a variável dele é visivelmente declarada e atualizada fora do corpo (i++), e mudar isso seria ainda mais confuso.

csharp
var actions = new List<Action>();

for (int i = 0; i < 3; i++)
    actions.Add(() => Console.Write(i));
actions.ForEach(a => a());        // imprime 333

actions.Clear();
foreach (var n in new[] { 0, 1, 2 })
    actions.Add(() => Console.Write(n));
actions.ForEach(a => a());        // imprime 012 (C# 5+)

actions.Clear();
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
    int copy = i;                 // uma variável nova por iteração
    actions.Add(() => Console.Write(copy));
}
actions.ForEach(a => a());        // imprime 012

Quando uma lambda criada dentro de um loop for (ou dentro de um while, ou antes de um await) precisa do valor atual, copie-o para uma variável local declarada dentro do corpo do loop. Lembre também que capturas estendem o tempo de vida da variável e alocam um objeto de closure, então use lambdas static quando quiser que o compilador garanta que nada está sendo capturado.