Cinemática de Velocidade e o Jacobiano

• Escrever a velocidade do efetuador final como $\mathbf v=J_v(\mathbf q)\dot{\mathbf q}$ e $\boldsymbol\omega=J_\omega(\mathbf q)\dot{\mathbf q}$, e ler cada coluna do Jacobiano como o movimento produzido por uma junta sozinha.
• Montar o Jacobiano geométrico coluna por coluna a partir dos frames dos elos, com a regra rotativa $\big(\mathbf z_{i-1}\times(\mathbf p-\mathbf o_{i-1}),\ \mathbf z_{i-1}\big)$ e a regra prismática $(\mathbf z_{i-1},\ \mathbf 0)$.
• Conferir um Jacobiano contra diferenças finitas centradas, inclusive as linhas angulares, e escolher o passo.
• Definir o Jacobiano analítico, relacioná-lo ao geométrico pela matriz $T$ dos ângulos de orientação escolhidos e dizer quando os dois coincidem e quando divergem.

A cinemática direta responde "onde está a ferramenta". O controle precisa de "com que velocidade a ferramenta se move quando as juntas se movem", porque motores recebem comandos em velocidade de junta e tarefas são escritas em velocidades cartesianas. inverse-kinematics-and-workspace já usou a resposta dentro do método de Newton: a matriz de derivadas parciais $J=\partial f/\partial\mathbf q$ de um braço planar. Aquela matriz saiu de derivar uma fórmula, o que funciona para posição. Orientação é diferente. Uma matriz de rotação não é um vetor, e sua taxa de variação é descrita por uma velocidade angular $\boldsymbol\omega$ que, em geral, não é a derivada de três números quaisquer. Esta lição monta o Jacobiano direto da geometria da cadeia, com as linhas de $\boldsymbol\omega$, e o confere numericamente.

Convenções: frames DH clássicos como em the-denavit-hartenberg-convention, então a junta $i$ gira em torno de $\mathbf z_{i-1}$ ou desliza ao longo dele, com origem $\mathbf o_{i-1}$. Todos os vetores estão expressos no frame da base. O ponto da ferramenta é $\mathbf p$. O Jacobiano empilha as linhas lineares em cima, $J=\begin{pmatrix}J_v\\J_\omega\end{pmatrix}$. O Modern Robotics empilha ao contrário, com as angulares em cima.

Cinemática de velocidade é a regra da cadeia

Se $\mathbf p=\mathbf p(\mathbf q(t))$, a regra da cadeia em várias variáveis de partial-derivatives-and-the-multivariable-chain-rule dá $\dot{\mathbf p}=\sum_i(\partial\mathbf p/\partial q_i)\,\dot q_i$, um termo por caminho de $\mathbf p$ até $t$. Então a coluna $i$ de $J_v$ é a velocidade da ponta quando a junta $i$ se move com taxa unitária e todas as outras estão paradas. A relação é linear em $\dot{\mathbf q}$ e não linear em $\mathbf q$: a matriz muda com a postura.

Montando o Jacobiano geométrico coluna por coluna

Uma taxa unitária numa junta rotativa gira tudo o que vem depois dela em torno do eixo $\mathbf z_{i-1}$ que passa por $\mathbf o_{i-1}$. Um corpo rígido girando com $\boldsymbol\omega$ em torno de um eixo que passa por $\mathbf o$ move seu ponto $\mathbf p$ com velocidade $\boldsymbol\omega\times(\mathbf p-\mathbf o)$. Uma taxa unitária numa junta prismática desliza tudo o que vem depois ao longo de $\mathbf z_{i-1}$, sem girar. Daí

As velocidades angulares de uma cadeia serial se somam, cada junta contribuindo com seu eixo vezes sua taxa, então as linhas angulares são simplesmente os eixos das juntas. Tudo o que é preciso, $\mathbf z_{i-1}$ e $\mathbf o_{i-1}$, é a terceira e a quarta coluna de ${}^0T_{i-1}$, que a cinemática direta já calcula. Na convenção modificada a junta $i$ fica em $\mathbf z_i$, na origem $\mathbf o_i$, e a mesma regra vale com esse índice.

Nomes: o que "geométrico" quer dizer onde

Este Jacobiano de $(\dot{\mathbf p},\boldsymbol\omega)$ é o que muitos textos chamam de Jacobiano geométrico. O Modern Robotics usa esse nome para os Jacobianos espacial e de corpo, que levam $\dot{\mathbf q}$ a um twist, e observa numa nota de rodapé que o termo também já foi usado para esta forma mista, que ele chama de "hybrid". A diferença está só na parte linear. A parte linear do Jacobiano espacial é a velocidade $\mathbf v_s$ do ponto do corpo móvel que está momentaneamente na origem da base, e $\dot{\mathbf p}=\mathbf v_s+\boldsymbol\omega\times\mathbf p$. Antes de comparar um Jacobiano com outra fonte, confira qual velocidade ele produz.

O Jacobiano analítico

Suponha a orientação descrita por três ângulos $\boldsymbol\phi$, por exemplo ângulos ZYX com $R=\mathrm{Rot}_z(\alpha)\,\mathrm{Rot}_y(\beta)\,\mathrm{Rot}_x(\gamma)$ (guinada, arfagem, rolagem, em torno dos eixos móveis). Derivar $\boldsymbol\phi(\mathbf q)$ dá o Jacobiano analítico $J_A=\partial(\mathbf p,\boldsymbol\phi)/\partial\mathbf q$. As taxas dos ângulos e $\boldsymbol\omega$ se relacionam por $\boldsymbol\omega=T(\boldsymbol\phi)\dot{\boldsymbol\phi}$, em que cada coluna de $T$ é o eixo de uma rotação elementar, expresso no frame da base:

Portanto

válido onde $T$ é invertível. Três consequências:

• As linhas lineares sempre coincidem, porque os dois Jacobianos usam $\dot{\mathbf p}$ no frame da base.
• As linhas angulares só coincidem quando $T=I$. Um braço planar é o caso típico: seu único ângulo de orientação $\phi=\theta_1+\theta_2+\theta_3$ tem $\dot\phi=\omega_z$.
• Em $\beta=\pm90^\circ$, $T$ é singular e $J_A$ não existe, mesmo que o braço gire livremente. É uma singularidade de representação, propriedade dos ângulos escolhidos e não do robô. Toda sequência de ângulos de Euler tem uma, em algum valor do ângulo do meio.

O Jacobiano analítico é o necessário quando a tarefa está escrita nesses ângulos, por exemplo num controlador que segue uma trajetória em guinada, arfagem e rolagem. O geométrico é o necessário para perguntas físicas, como a velocidade da ferramenta, as forças via $J^T$ e as singularidades do robô.

Exemplo 1: o braço articulado, coluna por coluna

Use o braço e a tabela de the-denavit-hartenberg-convention ($d_1=0{,}4$ m, $a_2=0{,}5$ m, $a_3=0{,}4$ m, comprimentos supostos) em $\mathbf q=(30^\circ,45^\circ,-60^\circ)$. Dos frames já calculados lá:

text
i   eixo z_(i-1)            origem o_(i-1)            p - o_(i-1)
1   (0, 0, 1)               (0, 0, 0)                 (0.6408, 0.3700,  0.6500)
2   (0.5, -0.866, 0)        (0, 0, 0.4)               (0.6408, 0.3700,  0.2500)
3   (0.5, -0.866, 0)        (0.3062, 0.1768, 0.7536)  (0.3346, 0.1932, -0.1035)

Fazendo os produtos vetoriais,

Leia as colunas. A junta 1 move a ponta na horizontal, perpendicular ao braço, com velocidade igual ao alcance horizontal $r=0{,}7399$ m, e não tem efeito vertical. As juntas 2 e 3 têm eixos na mesma direção, então suas colunas angulares são iguais. A coluna linear da junta 2 tem componente vertical $0{,}7399$, de novo o alcance horizontal, porque o ombro levanta a ponta na proporção de quão longe ela está. As mesmas colunas saem de derivar a fórmula de posição daquela lição: $\partial\mathbf p/\partial\theta_1=(-s_1r,\ c_1r,\ 0)=(-0{,}3700;\ 0{,}6408;\ 0)$.

Para uma velocidade de junta $\dot{\mathbf q}=(0{,}2;\ -0{,}1;\ 0{,}3)$ rad/s, $J\dot{\mathbf q}=(-0{,}0254;\ 0{,}1562;\ 0{,}0419\ \text{m/s};\ 0{,}1;\ -0{,}1732;\ 0{,}2\ \text{rad/s})$.

Exemplo 2: conferindo contra diferenças finitas

Linhas de posição: perturbe uma junta em $\pm h$ e calcule $\big(\mathbf p(\mathbf q+h\mathbf e_i)-\mathbf p(\mathbf q-h\mathbf e_i)\big)/2h$. Linhas angulares: as matrizes de rotação não são vetores, mas $\dot R\,R^T$ é a matriz antissimétrica de $\boldsymbol\omega$, então tome $\dot R\approx\big(R(\mathbf q+h\mathbf e_i)-R(\mathbf q-h\mathbf e_i)\big)/2h$ e leia $\boldsymbol\omega$ nas entradas $(3,2)$, $(1,3)$, $(2,1)$ de $\dot RR^T$. A maior diferença em relação ao $J$ geométrico, nas 18 entradas:

text
h          1e-2      1e-4      1e-6      1e-8      1e-10
max diff   1.7e-05   1.7e-09   7.0e-11   ~1e-08    ~5e-07 a 9e-07

A diferença centrada tem erro de truncamento da ordem de $h^2$, que domina à esquerda, e erro de arredondamento da ordem de $\varepsilon_{\text{mach}}/h$, que domina à direita. As duas últimas entradas são ruído de arredondamento: seus dígitos mudam com o jeito de programar a cinemática direta, só a ordem de grandeza é estável. O melhor passo fica perto de $h=10^{-6}$, mais ou menos a raiz cúbica da precisão de máquina. Um erro de índice nas origens, usar $\mathbf o_i$ no lugar de $\mathbf o_{i-1}$ (fácil ao trocar de convenção), aparece como uma entrada errada por $0{,}39$, nove ordens de grandeza acima desse piso. Uma conferência no tempo também bate: $\big(\mathbf p(\mathbf q+\dot{\mathbf q}\,\delta)-\mathbf p(\mathbf q-\dot{\mathbf q}\,\delta)\big)/2\delta$ com $\delta=10^{-6}$ s reproduz $(-0{,}0254;\ 0{,}1562;\ 0{,}0419)$ m/s.

A relação da seção sobre nomes também se confirma aqui: para cada coluna, $-\mathbf z_{i-1}\times\mathbf o_{i-1}$ (a parte linear do Jacobiano espacial) mais $\mathbf z_{i-1}\times\mathbf p$ reproduz a coluna correspondente de $J_v$.

Exemplo 3: uma junta prismática

Use o SCARA de the-denavit-hartenberg-convention (altura do ombro suposta de $0{,}5$ m, elos de $0{,}4$ m e $0{,}3$ m) em $(30^\circ,45^\circ,0{,}1\text{ m})$, com ponta $\mathbf p=(0{,}4241;\ 0{,}4898;\ 0{,}4000)$. Eixos $\mathbf z_0=\mathbf z_1=(0,0,1)$ com origens $(0,0,0)$ e $(0{,}3464;\ 0{,}2;\ 0{,}5)$, e $\mathbf z_2=(0,0,-1)$ porque o curso positivo da haste é para baixo.

A terceira coluna é só $\mathbf z_2$ em cima e zeros embaixo: deslizar desce a ferramenta a 1 m/s por m/s e não a gira. As linhas 4 e 5 são nulas, então esse braço nunca inclina a ferramenta, e a matriz $6\times3$ tem posto no máximo 3. Diferenças finitas com $h=10^{-6}$ concordam até $7{,}0\times10^{-11}$.

Exemplo 4: geométrico versus analítico, longe de qualquer singularidade

Para o braço articulado em $(30^\circ,45^\circ,-60^\circ)$, os ângulos ZYX da ferramenta são $(\alpha,\beta,\gamma)=(30^\circ,15^\circ,90^\circ)$: a guinada é $\theta_1$, a arfagem é $-(\theta_2+\theta_3)$, a rolagem fica em $90^\circ$. Então as linhas angulares de $J_A$ são

As duas estão certas e respondem a perguntas diferentes: $J_A$ dá taxas de ângulo, $J_\omega$ dá o giro físico. Diferenças finitas dos ângulos ZYX extraídos reproduzem $T^{-1}J_\omega$ até $8{,}4\times10^{-11}$. As linhas lineares são idênticas.

Exemplo 5: quando só o Jacobiano analítico explode

Tome um punho de três juntas com $R=\mathrm{Rot}_z(q_1)\mathrm{Rot}_y(q_2)\mathrm{Rot}_z(q_3)$, todas rotativas. Seu Jacobiano angular tem colunas $\mathbf e_z$, $\mathrm{Rot}_z(q_1)\mathbf e_y$ e $\mathrm{Rot}_z(q_1)\mathrm{Rot}_y(q_2)\mathbf e_z$, confirmadas por diferenças finitas até $8\times10^{-11}$. Descreva sua orientação com ângulos ZYX e leve-o até $\mathbf q=(20^\circ,90^\circ,0)$, onde a arfagem ZYX chega a $90^\circ$:

text
q2      cond(J_omega)   max |entrada de J_A|   taxas ZYX para qdot = (0.1, 0.1, 0.1) rad/s
40*     2.75            1.1
80      1.19            5.8                    (0.68, 0.10, 0.57)
89      1.018           57.3                   (5.83, 0.10, 5.73)
89.9    1.0017          573                    (57.40, 0.10, 57.30)

(* linha com $q_3=30^\circ$, as outras com $q_3=0$.) Em $q_2=89{,}9^\circ$ o punho está quase perfeitamente condicionado, gira a $\lvert\boldsymbol\omega\rvert=0{,}173$ rad/s, e mesmo assim guinada e rolagem precisam variar a cerca de 57 rad/s cada. Perto da arfagem de $90^\circ$ o eixo da guinada e o da rolagem apontam em direções quase opostas, então essas duas taxas grandes quase se cancelam. Um controlador escrito em ângulos ZYX veria uma falha que o hardware não tem.

O inverso também acontece. Em $q_2=0$ os eixos das juntas 1 e 3 se alinham, $J_\omega$ tem valores singulares $(1{,}414;\ 1;\ 0)$, e o punho de fato não consegue girar em torno de uma direção. Isso é uma singularidade do robô, assunto de singularities-and-manipulability. Os dois tipos se distinguem perguntando qual matriz perde posto: $J$ (o robô) ou $T$ (os ângulos).

• "Velocidade angular é a derivada dos ângulos de Euler." É $T(\boldsymbol\phi)$ vezes essa derivada. No Exemplo 4 as duas diferem numa postura comum.
• "Os Jacobianos geométrico e analítico diferem em tudo." As linhas lineares são sempre iguais, e num braço planar a linha angular também.
• "Uma explosão em $J_A$ quer dizer robô singular." No Exemplo 5 o punho tinha número de condição $1{,}0017$ enquanto $J_A$ tinha entradas de 573.
• "Colunas prismáticas são como as rotativas." Elas têm o eixo nas linhas lineares, zeros nas angulares, e nenhum produto vetorial.
• "Qualquer passo de diferença finita serve." O erro foi $1{,}7\times10^{-5}$ com $h=10^{-2}$ e da ordem de $10^{-6}$ com $h=10^{-10}$, contra $7\times10^{-11}$ perto de $10^{-6}$.
• "O Jacobiano geométrico é o mesmo em todo livro." O Modern Robotics chama assim um Jacobiano de twist, cuja parte linear não é $\dot{\mathbf p}$. Confira a velocidade antes de comparar números.

O Jacobiano leva taxas de junta à velocidade do efetuador final, e sua coluna $i$ é o movimento produzido só pela junta $i$. A partir dos frames dos elos, uma junta rotativa contribui com $\mathbf z_{i-1}\times(\mathbf p-\mathbf o_{i-1})$ nas linhas lineares e $\mathbf z_{i-1}$ nas angulares, e uma prismática com $\mathbf z_{i-1}$ e zeros. Para o braço articulado e o SCARA essas colunas bateram com diferenças centradas até $7\times10^{-11}$ no melhor passo, $h=10^{-6}$. O Jacobiano analítico deriva um conjunto escolhido de ângulos de orientação e vale $\operatorname{diag}(I,T^{-1})J$: mesmas linhas lineares, linhas angulares diferentes a menos que $T=I$ como num braço planar, e explosão onde $T$ é singular. Um punho em ZYX perto da arfagem de $90^\circ$ mostrou taxas de ângulo de 57 rad/s enquanto o hardware girava a $0{,}17$ rad/s, bem condicionado.