Computer Science › Fundamentos da Ciência da Computação
Um vetor em ℝⁿ é uma lista ordenada de n números reais; soma e multiplicação por escalar são definidas componente a componente, herdando as propriedades algébricas dos números reais, e a imagem geométrica (setas) é uma ajuda à intuição, não uma restrição.
Uma combinação linear escala e soma vetores; o span de um conjunto é o conjunto de tudo que é alcançável assim (sempre um ponto, reta, plano ou análogo pela origem), e verificar se um vetor alvo está no span se reduz a resolver um sistema de equações lineares.
Um conjunto é independente se a única combinação linear igual a zero é a trivial; uma base combina independência com span, e o lema da troca garante que toda base do mesmo espaço tem o mesmo número de vetores, essa contagem é a dimensão.
Um sistema de m equações em n incógnitas se comprime em Ax = b; a imagem por linhas vê cada equação como um hiperplano cuja interseção é a solução, e a imagem por colunas vê b como combinação linear das colunas de A, com x fornecendo os pesos.
Eliminação progressiva usa operações de linha (troca, escala, soma de múltiplo) para levar Ax = b à forma escalonada, e substituição regressiva recupera a solução; o formato final revela solução única, nenhuma (0 = não zero), ou infinitas (0 = 0 com variável livre).
Soma e multiplicação por escalar são componente a componente; multiplicação de matrizes usa a regra linha-vezes-coluna, definida especificamente para tornar A(Bx) = (AB)x válido (composição de transformações), e AB ≠ BA em geral.
Aᵀ reflete uma matriz pela diagonal; (AB)ᵀ = BᵀAᵀ inverte a ordem; uma matriz simétrica satisfaz A = Aᵀ, e AᵀA é sempre simétrica para qualquer A, a razão por trás de matrizes de Gram e covariância.
I satisfaz AI = IA = A; A⁻¹ é a matriz única com AA⁻¹ = A⁻¹A = I, calculável para 2×2 via 1/(ad-bc)·[d,-b;-c,a]; quando ad-bc = 0 a matriz é singular (linhas/colunas dependentes) e nenhuma inversa existe.
det(A) é um único número calculado de uma matriz quadrada; det(A) = 0 exatamente quando A é singular, e |det(A)| mede o fator de escala de área (2×2) ou volume (3×3), com o sinal indicando se a orientação é preservada ou invertida.
C(A) é o span das colunas de A (todo b alcançável); N(A) é o conjunto de x com Ax = 0; um espaço nulo não trivial força A a ser singular, e juntos determinam solubilidade e unicidade de Ax = b.
O posto é a dimensão do espaço de colunas, igual à contagem de pivôs na eliminação e à dimensão do espaço de linhas; posto(A) + nulidade(A) = n, e o posto sozinho prevê se Ax = b tem solução única, nenhuma, ou infinitas.
Uma matriz A define T(x) = Ax satisfazendo aditividade e homogeneidade; rotação, escala, e reflexão são matrizes 2×2 concretas, e compor transformações corresponde a multiplicar matrizes, com a ordem importando exatamente como visto na multiplicação não comutativa.
Av = λv define autovetores (direções que A só escala) e autovalores (o fator de escala); reescrever como (A − λI)v = 0 conecta a determinantes via det(A − λI) = 0, a equação característica que encontra λ antes de v.
Uma matriz de Markov tem colunas não negativas somando 1; sua distribuição estacionária é um autovetor com autovalor 1, para o qual Mᵏx converge de qualquer início; PageRank define o rank de uma página como sua entrada nessa distribuição.
Quando A tem n autovetores independentes, A = PDP⁻¹ (P de autovetores, D de autovalores), e Aᵏ = PDᵏP⁻¹ torna potências altas quase grátis (Dᵏ é só elevar cada entrada); autovalores repetidos com autoespaço deficiente impedem diagonalização.
O produto escalar x·y = Σxᵢyᵢ colapsa dois vetores em um número real; a identidade x·y = ‖x‖‖y‖cos θ conecta essa fórmula algébrica ao ângulo entre vetores, tornando ortogonalidade (x·y = 0) e comprimento (‖x‖ = √(x·x)) computáveis diretamente das componentes.
O gradiente ∇f coleta as derivadas parciais de f em um vetor; ∇f(aᵀx) = a, ∇f(xᵀAx) = 2Ax para A simétrica, o gradiente aponta na direção de crescimento mais íngreme, e ∇f = 0 localiza pontos planos (candidatos a mínimo/máximo).
Ajustar uma reta a dados reais produz um Ax = b inconsistente; a rota geométrica (projetar b no espaço de colunas) e a rota do cálculo (minimizar ‖Ax-b‖² via gradiente) convergem para a mesma equação normal AᵀAx = Aᵀb.
Vetores são ortogonais quando o produto escalar é zero; uma matriz Q com colunas ortonormais satisfaz QᵀQ = I, o que significa Q⁻¹ = Qᵀ, uma inversa de graça (só rearranjar entradas) que representa rotações e reflexões preservando comprimento e ângulo.
Uma matriz simétrica (A = Aᵀ) sempre tem autovalores reais e autovetores ortogonais entre autovalores distintos, garantindo diagonalização A = QDQᵀ com Q ortogonal (Q⁻¹ = Qᵀ grátis); essa garantia sustenta PCA via matrizes de covariância.
Part of the Computer Science curriculum.
Um vetor em ℝⁿ é uma lista ordenada de n números reais; soma e multiplicação por escalar são definidas componente a componente, herdando as propriedades algébricas dos números reais, e a imagem geométrica (setas) é uma ajuda à intuição, não uma restrição.
Uma combinação linear escala e soma vetores; o span de um conjunto é o conjunto de tudo que é alcançável assim (sempre um ponto, reta, plano ou análogo pela origem), e verificar se um vetor alvo está no span se reduz a resolver um sistema de equações lineares.
Um conjunto é independente se a única combinação linear igual a zero é a trivial; uma base combina independência com span, e o lema da troca garante que toda base do mesmo espaço tem o mesmo número de vetores, essa contagem é a dimensão.
Um sistema de m equações em n incógnitas se comprime em Ax = b; a imagem por linhas vê cada equação como um hiperplano cuja interseção é a solução, e a imagem por colunas vê b como combinação linear das colunas de A, com x fornecendo os pesos.
Eliminação progressiva usa operações de linha (troca, escala, soma de múltiplo) para levar Ax = b à forma escalonada, e substituição regressiva recupera a solução; o formato final revela solução única, nenhuma (0 = não zero), ou infinitas (0 = 0 com variável livre).
Soma e multiplicação por escalar são componente a componente; multiplicação de matrizes usa a regra linha-vezes-coluna, definida especificamente para tornar A(Bx) = (AB)x válido (composição de transformações), e AB ≠ BA em geral.
Aᵀ reflete uma matriz pela diagonal; (AB)ᵀ = BᵀAᵀ inverte a ordem; uma matriz simétrica satisfaz A = Aᵀ, e AᵀA é sempre simétrica para qualquer A, a razão por trás de matrizes de Gram e covariância.
I satisfaz AI = IA = A; A⁻¹ é a matriz única com AA⁻¹ = A⁻¹A = I, calculável para 2×2 via 1/(ad-bc)·[d,-b;-c,a]; quando ad-bc = 0 a matriz é singular (linhas/colunas dependentes) e nenhuma inversa existe.
det(A) é um único número calculado de uma matriz quadrada; det(A) = 0 exatamente quando A é singular, e |det(A)| mede o fator de escala de área (2×2) ou volume (3×3), com o sinal indicando se a orientação é preservada ou invertida.
C(A) é o span das colunas de A (todo b alcançável); N(A) é o conjunto de x com Ax = 0; um espaço nulo não trivial força A a ser singular, e juntos determinam solubilidade e unicidade de Ax = b.
O posto é a dimensão do espaço de colunas, igual à contagem de pivôs na eliminação e à dimensão do espaço de linhas; posto(A) + nulidade(A) = n, e o posto sozinho prevê se Ax = b tem solução única, nenhuma, ou infinitas.
Uma matriz A define T(x) = Ax satisfazendo aditividade e homogeneidade; rotação, escala, e reflexão são matrizes 2×2 concretas, e compor transformações corresponde a multiplicar matrizes, com a ordem importando exatamente como visto na multiplicação não comutativa.
Av = λv define autovetores (direções que A só escala) e autovalores (o fator de escala); reescrever como (A − λI)v = 0 conecta a determinantes via det(A − λI) = 0, a equação característica que encontra λ antes de v.
Uma matriz de Markov tem colunas não negativas somando 1; sua distribuição estacionária é um autovetor com autovalor 1, para o qual Mᵏx converge de qualquer início; PageRank define o rank de uma página como sua entrada nessa distribuição.
Quando A tem n autovetores independentes, A = PDP⁻¹ (P de autovetores, D de autovalores), e Aᵏ = PDᵏP⁻¹ torna potências altas quase grátis (Dᵏ é só elevar cada entrada); autovalores repetidos com autoespaço deficiente impedem diagonalização.
O produto escalar x·y = Σxᵢyᵢ colapsa dois vetores em um número real; a identidade x·y = ‖x‖‖y‖cos θ conecta essa fórmula algébrica ao ângulo entre vetores, tornando ortogonalidade (x·y = 0) e comprimento (‖x‖ = √(x·x)) computáveis diretamente das componentes.
O gradiente ∇f coleta as derivadas parciais de f em um vetor; ∇f(aᵀx) = a, ∇f(xᵀAx) = 2Ax para A simétrica, o gradiente aponta na direção de crescimento mais íngreme, e ∇f = 0 localiza pontos planos (candidatos a mínimo/máximo).
Ajustar uma reta a dados reais produz um Ax = b inconsistente; a rota geométrica (projetar b no espaço de colunas) e a rota do cálculo (minimizar ‖Ax-b‖² via gradiente) convergem para a mesma equação normal AᵀAx = Aᵀb.
Vetores são ortogonais quando o produto escalar é zero; uma matriz Q com colunas ortonormais satisfaz QᵀQ = I, o que significa Q⁻¹ = Qᵀ, uma inversa de graça (só rearranjar entradas) que representa rotações e reflexões preservando comprimento e ângulo.
Uma matriz simétrica (A = Aᵀ) sempre tem autovalores reais e autovetores ortogonais entre autovalores distintos, garantindo diagonalização A = QDQᵀ com Q ortogonal (Q⁻¹ = Qᵀ grátis); essa garantia sustenta PCA via matrizes de covariância.