Computer Science › Algoritmos e Software
De onde vem o erro numérico: truncar um processo infinito, arredondar para precisão finita e como os dois se propagam num cálculo, com erro absoluto e relativo e perda de significância.
O condicionamento de um problema versus a estabilidade de um algoritmo, erro direto e erro reverso, e por que um problema bem condicionado ainda pode ser arruinado por uma fórmula instável.
A bisseção como método numérico: a garantia de confinamento dada pelo Teorema do Valor Intermediário, a convergência linear, a contagem exata de iterações para uma tolerância e os critérios de parada.
A iteração de ponto fixo, a condição de contração sobre a derivada que decide a convergência e como reescrever a mesma equação muda o resultado.
O método de Newton deduzido da reta tangente, a convergência quadrática perto de uma raiz simples e como ele falha: chutes iniciais ruins, derivadas que se anulam e raízes múltiplas.
O método da secante como Newton sem derivada, a definição formal de ordem de convergência e como se deduz a ordem do método da secante.
A decomposição LU como eliminação gaussiana com os multiplicadores registrados, por que o pivoteamento parcial é necessário para a estabilidade, PA = LU e o reuso dos fatores para vários lados direitos. Este pivoteamento não é o pivô do simplex, e a lição diz isso.
As iterações de Jacobi e Gauss-Seidel para grandes sistemas esparsos, as condições de dominância diagonal e de raio espectral para a convergência, e quando a iteração supera a fatoração.
O número de condição de uma matriz, como ele limita a amplificação do erro relativo em Ax = b, e a matriz de Hilbert como o caso clássico de mau condicionamento.
As formas de Lagrange e de Newton do mesmo polinômio interpolador, diferenças divididas, a fórmula do erro de interpolação e o fenômeno de Runge.
Interpolação por partes com splines lineares e cúbicas, as condições de continuidade, as fronteiras natural e fixada, e por que splines evitam a oscilação de Runge.
Ajuste de curvas por mínimos quadrados pelo lado numérico: equações normais versus QR, condicionamento e a escolha da base, construindo sobre a lição de álgebra linear em vez de repeti-la.
As regras compostas do trapézio e de Simpson deduzidas por interpolação, com seus termos de erro aplicados a integrais de valor exato conhecido.
A ordem de uma regra de quadratura, a extrapolação de Richardson e a quadratura adaptativa, que refina só onde a estimativa de erro exige.
O método de Euler para problemas de valor inicial, erro de truncamento local versus erro global, o efeito do tamanho do passo e um primeiro olhar sobre estabilidade.
Os métodos de Runge-Kutta de segunda ordem e o clássico de quarta ordem, como ganham ordem sem derivadas do lado direito e o passo adaptativo.
Um guia de decisão para toda a disciplina: dados o tamanho, a suavidade e o condicionamento de um problema, escolher um método e diagnosticar por que ele falhou.
Part of the Computer Science curriculum.
De onde vem o erro numérico: truncar um processo infinito, arredondar para precisão finita e como os dois se propagam num cálculo, com erro absoluto e relativo e perda de significância.
O condicionamento de um problema versus a estabilidade de um algoritmo, erro direto e erro reverso, e por que um problema bem condicionado ainda pode ser arruinado por uma fórmula instável.
A bisseção como método numérico: a garantia de confinamento dada pelo Teorema do Valor Intermediário, a convergência linear, a contagem exata de iterações para uma tolerância e os critérios de parada.
A iteração de ponto fixo, a condição de contração sobre a derivada que decide a convergência e como reescrever a mesma equação muda o resultado.
O método de Newton deduzido da reta tangente, a convergência quadrática perto de uma raiz simples e como ele falha: chutes iniciais ruins, derivadas que se anulam e raízes múltiplas.
O método da secante como Newton sem derivada, a definição formal de ordem de convergência e como se deduz a ordem do método da secante.
A decomposição LU como eliminação gaussiana com os multiplicadores registrados, por que o pivoteamento parcial é necessário para a estabilidade, PA = LU e o reuso dos fatores para vários lados direitos. Este pivoteamento não é o pivô do simplex, e a lição diz isso.
As iterações de Jacobi e Gauss-Seidel para grandes sistemas esparsos, as condições de dominância diagonal e de raio espectral para a convergência, e quando a iteração supera a fatoração.
O número de condição de uma matriz, como ele limita a amplificação do erro relativo em Ax = b, e a matriz de Hilbert como o caso clássico de mau condicionamento.
As formas de Lagrange e de Newton do mesmo polinômio interpolador, diferenças divididas, a fórmula do erro de interpolação e o fenômeno de Runge.
Interpolação por partes com splines lineares e cúbicas, as condições de continuidade, as fronteiras natural e fixada, e por que splines evitam a oscilação de Runge.
Ajuste de curvas por mínimos quadrados pelo lado numérico: equações normais versus QR, condicionamento e a escolha da base, construindo sobre a lição de álgebra linear em vez de repeti-la.
As regras compostas do trapézio e de Simpson deduzidas por interpolação, com seus termos de erro aplicados a integrais de valor exato conhecido.
A ordem de uma regra de quadratura, a extrapolação de Richardson e a quadratura adaptativa, que refina só onde a estimativa de erro exige.
O método de Euler para problemas de valor inicial, erro de truncamento local versus erro global, o efeito do tamanho do passo e um primeiro olhar sobre estabilidade.
Os métodos de Runge-Kutta de segunda ordem e o clássico de quarta ordem, como ganham ordem sem derivadas do lado direito e o passo adaptativo.
Um guia de decisão para toda a disciplina: dados o tamanho, a suavidade e o condicionamento de um problema, escolher um método e diagnosticar por que ele falhou.